tìm các giá trị của m để phương trình có nghiệm
\(\left(2m+3\right)sin^2x+\left(m+1\right)sinxcosx-\left(2m-1\right)cos^2x=3m+4\)
1. Giải các phương trình sau:
a) \(\cos\left(x+15^0\right)=\dfrac{2}{5}\)
b) \(\cot\left(2x-10^0\right)=4\)
c) \(\cos\left(x+12^0\right)+\sin\left(78^0-x\right)=1\)
2. Định m để các phương trình sau có nghiệm:
\(\sin\left(3x-27^0\right)=2m^2+m\)
c.
\(\Leftrightarrow cos\left(x+12^0\right)+cos\left(90^0-78^0+x\right)=1\)
\(\Leftrightarrow2cos\left(x+12^0\right)=1\)
\(\Leftrightarrow cos\left(x+12^0\right)=\dfrac{1}{2}\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x+12^0=60^0+k360^0\\x+12^0=-60^0+k360^0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=48^0+k360^0\\x=-72^0+k360^0\end{matrix}\right.\)
2.
Do \(-1\le sin\left(3x-27^0\right)\le1\) nên pt có nghiệm khi:
\(\left\{{}\begin{matrix}2m^2+m\ge-1\\2m^2+m\le1\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2m^2+m+1\ge0\left(luôn-đúng\right)\\2m^2+m-1\le0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow-1\le m\le\dfrac{1}{2}\)
a.
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x+15^0=arccos\left(\dfrac{2}{5}\right)+k360^0\\x+15^0=-arccos\left(\dfrac{2}{5}\right)+k360^0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-15^0+arccos\left(\dfrac{2}{5}\right)+k360^0\\x=-15^0-arccos\left(\dfrac{2}{5}\right)+k360^0\end{matrix}\right.\)
b.
\(2x-10^0=arccot\left(4\right)+k180^0\)
\(\Rightarrow x=5^0+\dfrac{1}{2}arccot\left(4\right)+k90^0\)
2.
Phương trình \(sin\left(3x-27^o\right)=2m^2+m\) có nghiệm khi:
\(2m^2+m\in\left[-1;1\right]\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2m^2+m\le1\\2m^2+m\ge-1\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left(m+1\right)\left(2m-1\right)\le0\)
\(\Leftrightarrow-1\le m\le\dfrac{1}{2}\)
Cho \(sin^2x+\left(2m-2\right)sinxcosx-\left(m+1\right)cos^2x=m\)
a, Giải khi m=-2
b, Tìm m để phương trình có nghiệm
tìm tất cả các giá trị nguyên của m để phương trình \(2\left(x^2+2x\right)^2-\left(4m-3\right)\left(x^2+2x\right)+1-2m=0\) có 3 nghiệm thuộc đoạn [-3;0]
c. Tìm m để phương trình
\(msin^2x-\left(m-1\right)sin2x+\left(2m+1\right)cos^2x=0\) vô nghiệm.
C) Pt \(\Rightarrow m\cdot\dfrac{1-cos2x}{2}-\left(m-1\right)sin2x+\left(2m+1\right)\cdot\dfrac{1+cos2x}{2}=0\)
\(\Rightarrow\left(m+1\right)cos2x-\left(2m-2\right)sin2x=-1-3m\)
Pt có nghiệm: \(\Leftrightarrow\) \(\left(m+1\right)^2+\left[-\left(2m-2\right)\right]^2\ge\left(1+3m\right)^2\)
\(\Rightarrow\dfrac{-3-\sqrt{13}}{2}\le m\le\dfrac{-3+\sqrt{13}}{2}\)
Pt vô nghiệm: \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m>\dfrac{-3+\sqrt{13}}{2}\\m< \dfrac{-3-\sqrt{13}}{2}\end{matrix}\right.\)
Tìm m để pt có nghiệm phân biệt trái dấu
a) \(2x^2-\left(m^2-m+1\right)x+2m^2-3m-5=0\)
b) \(\left(m^2-3m+2\right)x^2-2m^2x-5=0\)
c) \(x^2-2\left(m-1\right)+m^2-2m=0\)( nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn)
a, Phương trình có hai nghiệm trái dấu khi \(2\left(2m^2-3m-5\right)< 0\)
\(\Leftrightarrow\left(2m-5\right)\left(m+1\right)< 0\)
\(\Leftrightarrow-1< m< \dfrac{5}{2}\)
b, TH1: \(m^2-3m+2=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=1\\m=2\end{matrix}\right.\)
Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất
TH2: \(m^2-3m+2\ne0\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ne1\\m\ne2\end{matrix}\right.\)
Phương trình có hai nghiệm trái dấu khi \(-5\left(m^2-3m+2\right)< 0\)
\(\Leftrightarrow m^2-3m+2>0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m>2\\m< 1\end{matrix}\right.\)
Vậy \(m>2\) hoặc \(m< 1\)
c, Phương trình đã cho có hai nghiệm trái dấu \(x_1,x_2\) khi \(m^2-2m< 0\Leftrightarrow0< m< 2\)
Theo định lí Viet: \(x_1+x_2=2\left(m-1\right)\)
Yêu cầu bài toán thỏa mãn khi \(x_1+x_2< 0\Leftrightarrow2\left(m-1\right)< 0\Leftrightarrow m< 1\)
Vậy \(0< m< 1\)
cho hàm số \(f\left(x\right)=\dfrac{9^x}{9^x+3}\). Tìm m để phương trình \(f\left(3m+\dfrac{1}{4}\sin x\right)+f\left(\cos^2x\right)=1\) có đúng 8 nghiệm phân biệt thuộc [0;3pi]
\(f\left(1-x\right)+f\left(x\right)=\dfrac{9^{1-x}}{9^{1-x}+3}+\dfrac{9^x}{9^x+3}=\dfrac{9}{9+3.9^x}+\dfrac{9^x}{9^x+3}=\dfrac{3}{9^x+3}+\dfrac{9^x}{9^x+3}=1\)
\(\Rightarrow f\left(x\right)=1-f\left(1-x\right)\)
\(\Rightarrow f\left(cos^2x\right)=1-f\left(sin^2x\right)\)
Do đó:
\(f\left(3m+\dfrac{1}{4}sinx\right)+f\left(cos^2x\right)=1\)
\(\Leftrightarrow f\left(3m+\dfrac{1}{4}sinx\right)=f\left(sin^2x\right)\) (1)
Hàm \(f\left(x\right)=\dfrac{9^x}{9^x+3}\) có \(f'\left(x\right)=\dfrac{3.9^x.ln9}{\left(9^x+3\right)^2}>0\Rightarrow f\left(x\right)\) đồng biến trên R
\(\Rightarrow\left(1\right)\Leftrightarrow3m+\dfrac{1}{4}sinx=sin^2x\)
Đến đây chắc dễ rồi, biện luận để pt \(sin^2x-\dfrac{1}{4}sinx=3m\) có 8 nghiệm trên khoảng đã cho
Cho hệ phương trình: \(\left\{{}\begin{matrix}2mx+y=1\\2x-\left(2m+1\right)y=-1\end{matrix}\right.\) (m là tham số). Tìm các giá trị của m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất
\(\left\{{}\begin{matrix}2mx+y=1\\2x-\left(2m+1\right)y=-1\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\left(2m+1\right)y+y=1\\2x=\left(2m+1\right)y-1\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2m^2y+my+y-1=0\\2x=\left(2m+1\right)y-1\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y\left(2m^2+m+1\right)=1\left(1\right)\\2x=\left(2m+1\right)y-1\end{matrix}\right.\)
Để pt có nghiệm duy nhất tức là pt (1) có nghiệm duy nhất
\(\Leftrightarrow2m^2+m+1\ne0\Leftrightarrow m^2+\left(m+\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}\ne0\) ( luôn đúng )
Vậy với mọi giá trị m thỏa mãn là pt có nghiệm duy nhất.
Tìm m để hai phương trình sau có nghiệm chung
a \(2x^2+\left(3m-1\right)x-3=0\) và \(6x^2-\left(2m-1\right)x-1=0\)
b \(x^2-mx+2m+1=0\) và \(mx^2-\left(2m+1\right)x-1=0\)
câu a
Gọi x0 là nghiệm chung của PT(1) và (2)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x^2_0+\left(3m-1\right)x_0-3=0\left(\times3\right)\\6.x^2_0-\left(2m-1\right)x_0-1=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}6x^2_0+3\left(3m-1\right)x_0-9=0\left(1\right)\\6x^2_0-\left(2m-1\right)x_0-1=0\left(2\right)\end{matrix}\right.\) Lấy (1)-(2) ,ta được
PT\(\Leftrightarrow3\left(3m-1\right)-9+\left(2m-1\right)+1\)=0
\(\Leftrightarrow9m-3-9+2m-1+1=0\Leftrightarrow11m-12=0\)
\(\Leftrightarrow m=\dfrac{12}{11}\)
1, cho phương trình \(sin2x-\left(2m+\sqrt{2}\right)\left(sinx+cosx\right)+2m\sqrt{2}+1=0\) tìm các giá trị m để phương trình có đúng 2 nghiệm \(x\in\left(0;\dfrac{5\Pi}{4}\right)\)
2,tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình \(cos2x+\left(2m+1\right)sinx-m-1=0\) có đúng 2 nghiệm thuộc khoảng \(\left(\dfrac{\Pi}{2};\dfrac{3\Pi}{2}\right)\)
3, cho phương trình \(cos^2x-2mcosx+6m-9=0\) tìm các giá trị m để phương trình có nghiệm thuộc khoảng \(\left(-\dfrac{\Pi}{2};\dfrac{\Pi}{2}\right)\)